Парадокс "Лжеца"

[Miss Construction]

Здесь вы найдете несколько решений известного с древности парадокса "Лжеца". Или, как его еще называют, парадокса Эпименида. Он же - парадокс Евбулида. Текст составлен по мотивам обсуждения на форуме "Мембрана", в котором на вопросы EndevER отвечали ZeNoN, Inex, sova и Гражданин Гадюкин. Еще пара решений добавлена позже.

 

Формулировка парадокса

 

Исходная (древняя) формулировка представляет собой рассказ о том, как некий Эпименид, уроженец острова Крит, в пылу спора воскликнул: "Все критяне - лжецы!". На что услышал возражение: "Но ведь ты сам - критянин! Так солгал ты или нет?".

 

Если предположить, что Эпименид сказал правду, то выходит, что он, как и все критяне,- лжец. А значит, он солгал. Если же он солгал, тогда получается, что он, как и все критяне,- не лжец. А значит, он сказал правду.

 

Это рассуждение, вообще говоря, некорректное, в нем есть явные ошибки. На одну из них указал приславший мне письмо Михаил Лейтус: если Эпименид солгал, то отрицание фразы "все Критяне лжецы" будет звучать так: "не все Критяне лжецы", а вовсе не так: "все критяне не лжецы". Но если внести такое исправление в рассуждение, доказательство развалится. Если Эпименид лжец, а остальные критяне - нет, то никакого парадокса не возникает.

 

Другая ошибка заключается в том, что лжецами мы называем не тех, кто лжет всегда, а тех, кто делает это всего лишь часто. Соответственно, даже если Эпименид - лжец, то не обязательно он солгал именно в этой фразе. Снова доказательство разваливается там, где написано: "А значит, он солгал". Может, в этот раз не солгал, а вообще он и другие критяне - лжецы и лгут регулярно. Снова нет парадокса.

 

Подробнее о правилах преобразования подобных фраз см. в пункте о логике предикатов. Из-за этих ошибок в древней формулировке используется другая, более сильная формулировка парадокса.

 

Сильная (современная) формулировка такова. Некто произносит: "Я сейчас лгу. Солгал ли я в предыдущей фразе?" Или просто: "Я лгу". Есть еще варианты: "Я всегда лгу", "Лгу ли я, когда лгу?", и т.п. Если фраза имеет форму утверждения, то надо определить, истинная эта фраза или ложная. Если фраза имеет форму вопроса, то надо определить, какой ответ ("да" или "нет") для нее правилен.

 

Современные варианты сводятся к такому противоречию. Если я лгу, значит, говоря это, я не лгу. Значит, говоря это, я говорю правду. Если я говорю правду, то утверждение "я лгу" - правдиво. И значит я все-таки лгу. Как бы ни ответить на вопрос - возникнет противоречие.

 

Почему решение не одно?

 

Какое из решений правильное? Все правильны. Как такое может быть? Потому, что парадокс - это рассуждение, ведущее к противоречию. Избавиться от противоречия можно разными способами. Все они сводятся к замене некоторого сомнительного кусочка рассуждений на более правильный. В результате получается рассуждение, похожее на прежнее, но без видимых противоречий. Кроме того, мы рассматриваем решение через разные виды логик.

 

Заменять можно разные кусочки. В каждом случае получатся различные решения, а какое из них предпочесть - дело вкуса. Одному самым сомнительным кажется один кусочек, другому - другой. Иногда самый первый сомнительный кусочек заметен и очевиден. Например, в школьной задаче с ошибкой в решении. Тогда "вкусы" большинства читателей более или менее совпадают. В нашем же случае вместо одной яркой, выделяющейся ошибки есть несколько в равной мере подозрительных мест.

Решение "психологией"

 

Это решение предложила одна моя знакомая, увлекающаяся психологией. Ее идея заключалась в том, чтобы попытаться представить себе, что в действительности происходило в описанной ситуации. В самом деле, фраза явно сказана в пылу спора. Далее, вряд ли оратор имел в виду себя. Тогда противоречие снимается: если все критяне, кроме Эпименида - лжецы, тогда он сказал правду, а остальные критяне - лгут. Далее, маловероятно, чтобы Эпименид считал лжецами своих родителей (хотя все бывает). Тогда фраза смягчается до "почти все критяне - лжецы". И опять нет противоречия. Далее, вряд ли Эпименид имел в виду и ту фразу, которую произносил, иначе зачем об этом заявлять во всеуслышание? Тогда, опять же, фраза смягчается до "все критяне лгут, но не всегда".

 

В целом это решение сводится к тому, что Эпименид в пылу спора выразился в гораздо более категоричной форме, чем хотел бы сказать. Условие задачи несколько меняется, и в результате последующие рассуждения к парадоксу не приводят. Но что будет, если оставить условие прежним?

 

Решение Бертрана Рассела

 

Б. Рассел предложил в свое время решение, которое я тут попытаюсь популярно изложить. Пусть человек оценивает каждую фразу рассуждения как "ложную" или "истинную". Он произносит фразу: "я лгу" и немедленно оценивает ее как ложную. Но сама оценка - тоже ложная, или же нет? А оценка оценки - тоже ложная или нет?

 

Рассел считал, что подобное рассуждение отдает шизофренией. В том смысле, что человек раздваивается: один еще только произносит фразу, а другой - уже заранее ее оценил. А можно сказать, что есть еще и третий, который забежал еще дальше вперед и оценил оценку. И так далее.

 

В результате мы либо признаем Эпименида шизофреником, который одновременно и согласен с собой, и не согласен. Либо мы признаем, что в этой фразе на самом деле спрятано множество фраз, и у каждой из них есть своя истинность или ложность:

 

 

я лгу = истина

я лгу, что я лгу = ложь

я лгу, что я лгу, что я лгу = истина

я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь

и так далее

 

или так:

 

 

я лгу = ложь

я лгу, что я лгу = истина

я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь

я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = истина

и так далее

 

В обоих случаях правильный ответ на вопрос парадокса гласит: "в чем-то лжец лжет, а в чем-то - говорит правду". Решение сводится к тому, чтобы признать: не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной. Прежде надо убедиться, что в ней только одна смысловая часть. Иначе одни части могут быть ложными, а другие - истинными.

 

Решение по теории множеств

 

Часто множество задается как часть другого множества, удовлетворяющая какому-то условию. Например, есть множество птиц. А в этом множестве - подмножество "водоплавающие". Условие: птица должна уметь плавать. Но условие не всегда дает хотя бы одну птицу. Скажем, условие: птица должна уметь стрелять. Результат - ни одной птицы. Или "пустое" множество. Короче, таких птиц не существует.

 

Теперь вернемся к парадоксу. Пусть все условия прежние и все "скрытые" части высказывания - ложные. Выделим из множества людей тех, кто мог сказать такое. Получим пустое множество. То есть таких людей не существует. Или же условие - неправильное.

Решение интерпретацией

 

Еще одно решение основано на точной интерпретации понятия "лжец". Обычно лжецом называют не того, кто лжет всегда и во всем, а того, кто лжет регулярно. Но не всегда. Тем самым мы имеем решение Рассела для современного варианта парадокса и психологическое решение для варианта древнего.

Решение в логике предикатов

 

Согласно логике предикатов (которая является более общей и универсальной), отрицание утверждения "все X" правильно звучит как: "не все X" или как: "некоторые не X". Но ни в коем случае не как: "все не X". Пример: "все американцы белые" - утверждение ложное, ведь там живут и чернокожие. Противоположное утверждение: "не все американцы белые" или "некоторые американцы не белые" - истинны. А вот неправильно составленное отрицание: "все американцы не белые" - опять-таки оказывается ложным. Аналогично правильное отрицание для "всегда X" звучит как: "иногда не X". Правильное отрицание "во всем X" звучит как: "кое в чем не X".

 

Зная этот факт, можно придумать еще одно решение. Берем фразу "я лгу". Для того, чтобы избежать ситуации, когда в этой фразе некоторые части истинны, а некоторые ложны (как в решении Рассела), мы вынуждены уточнить ее: "я во всем лгу". Пусть это - ложь. Тогда истиной будет: "я не во всем лгу". Или: "я кое в чем говорю правду". Из этого утверждения нельзя вывести, что в данном случае все части утверждения ложные. А без этого мы не получим противоречия с исходной посылкой и не получим парадокса. В самом деле, может быть, как в решении Рассела, одна половина - ложь, а другая - правда. Тогда слишком категоричное утверждение "я во всем лгу" - действительно ложно, никаких противоречий не видно, и мы другим путем пришли к тому же выводу, что и Рассел.

 

Итак, использование более универсальной логики тоже позволяет решить парадокс.

 

Решение в многозначной логике

 

Согласно логике Лукасевича, мы не всегда можем говорить: "истина" и "ложь". Вместо этого иногда нам приходится признать, что в какой-то части фраза истина, а в какой-то части - нет. Степень истинности выражается величиной от 0 (абсолютная ложь) до 1 (абсолютная истина). Отрицание в логике Лукасевича выполняется вычитанием из единицы: ~X = 1 - X.

 

Тогда пусть фраза "я лгу" истинна на 0,5. Это значит, что ее отрицание - тоже истина на 0,5. Вспоминаем решение Рассела. Там тоже половина ответов - ложная, а половина - истинная. Пришли к тому же выводу еще одной дорогой.

 

Очень похоже выглядит решение в другой многозначной логике: трехзначной. Там есть три степени истинности: "да", "нет" и "не знаю" (или "истина", "ложь" и "неопределенно"). Между истиной и ложью есть третье, промежуточное по смыслу значение. Оно и является правильным ответом на вопрос парадокса (отрицание "не знаю" дает "не знаю").

 

Вообще, как вы понимаете, в жизни помимо черного и белого, есть много промежуточных оттенков. Так же, как помимо истины и лжи, есть много промежуточных состояний вроде "правда, но не во всем". Поэтому логика Лукасевича - более точный вариант, трехзначная - менее точная, а двузначная - еще менее. А бывает еще точнее, чем логика Лукасевича. Когда же мы пытаемся приблизить величину 0,5 величинами 0 и 1, то вынуждены применять всякие ухищрения, чтобы не исказить смысл. Вроде того, что делим истинность фразы на две равные части. Одной половине назначаем истинность 0, а другой - 1. Если же мы попытаемся выбрать только 0 или 1, то неизбежно проигнорируем важную часть смысла. Ну и придем к парадоксу, как следствие.

 

Решение в двузначной логике

 

Я предложил решение в булевой алгебре (она же - двузначная логика), которое получило на форуме наилучшие отзывы. При этом мы не вводим новые условия, не изменяем их и остаемся в пределах предполагаемых ответов: "да" и "нет"; а также в пределах предполагаемой логики: двузначной. В литературе я такого решения не встречал, но в принципе, оно довольно близко к остальным, так как исходит из общей идеи: не закрывать глаза на то, что в этой фразе содержится на самом деле несколько фраз-утверждений.

 

Итак: "я лгу". Более того, все скрытые смыслы фразы: "я лгу, что я лгу", "я лгу, что я лгу, что я лгу" и так далее - тоже ложь. Обозначим через X простейшую из этих фраз "я лгу". Остальные выразим через нее и составим систему уравнений:

 

X = ложь

(X = ложь) = ложь

((X = ложь) = ложь) = ложь

(((X = ложь) = ложь) = ложь) = ложь

...

 

Получаем систему из бесконечного количества уравнений. Обратите внимание, не высказываний, а уравнений. В этом - вся соль. Если высказывание может быть истинным или ложным, то уравнение (или система уравнений) не может быть истинным или ложным. Оно может иметь решение или не иметь. Например, уравнение

 

x = x + 1

 

решений не имеет. Наша система уравнений тоже не имеет решений. Это означает буквально следующее: на заданный вопрос нельзя ответить ни "да", ни "нет". Поскольку ни вариант "X = истина", ни вариант "X = ложь" не подходят. Этот вывод согласуется с остальными решениями, поскольку все они так или иначе отказываются давать однозначный ответ "да" или "нет".

 

Решение в стиле программирования

 

Sova предложил еще один вариант: ограничить количество уравнений. Конечно, это не избавляет нас от парадокса, но зато приближает к реальности. Вряд ли человек, произнося слова "я лгу", в самом деле рассматривает бесконечное количество скрытых высказываний и осознает, что все они - ложны. То есть, таким образом мы формализуем процесс произнесения парадоксальной фразы, описываем программу, по которой рассуждает "лжец".

 

Решение в аксиоматическом методе

 

Напоследок приведу решение, предложенное Inex.

 

Парадоксы в математике возникают тогда, когда используемая система аксиом несовместна. Это слово означает, что из такой системы можно вывести как само утверждение, так и его отрицание. То же самое относится и к системе логических формул. Мы считаем, что система аксиом логики высказываний непротиворечива. К ней добавляется новая система аксиом.

 

Словесно она такая: каждый критянин либо всегда лжет, либо всегда говорит правду; и один из них сказал, что все критняне - лжецы. Можно ли из аксиом логики высказываний и новых аксиом вывести, что "все критняне лжецы" или обратное утверждение? Можно и то и другое. Следовательно новая логическая система несовместна.

 

Тогда:

- либо существуют критяне, которые могут как лгать, так и говорить правду. Тогда такой критянин, солгав, может и не являться лжецом.

- либо не верно, что существует критянин, сказавший, что все критяне - лжецы.

 

Вот и все. Парадокс не в логике, а в предпосылках. Из ложной посылки можно вывести любое следствие.

 

От себя добавлю: это означает, что иногда (как в данном случае) условия задачи могут быть специально подобраны так, чтобы противоречить применяемой логике. В этом ведь и смысл парадокса лжеца: наглядно продемонстрировать, как можно сформулировать такую задачу, что ее ответ не будет двузначным, не уложится в "да" или "нет". Аксиоматический метод со своей стороны отвечает на вопрос, как и почему это происходит.

 

Заключение

 

Инженеры имеют много инструментов для измерения длины. Иногда достаточно небольшой точности и применяется простая линейка. А иногда нужна точность повыше, и применяется микрометр или микроскоп. Но всегда помнят о том, какая точность нужна и какую можно получить. И выводы всех приборов будут вполне определенны и разумны с учетом их погрешности.

 

Математика имеет много вариантов логики для измерения истинности. Иногда достаточно небольшой точности, и используется двузначная логика. А иногда нужна точность повыше, и применяются более сложные методы. Опять же, выбранный метод определяет точность результата.

 

Как видим, математика позволяет решить парадокс лжеца с применением любой из наиболее популярных видов логики. Тип логики определяет ответ. Но в принципе все "логики" сходятся в одном. На вопрос лжеца нельзя дать один ответ потому, что в самом вопросе на деле спрятан не один, а несколько вопросов. Если же учесть этот факт, то мат. логика даст четкий ответ.

 

Зато можно дать вполне определенный ответ на другой вопрос: нет, парадокс лжеца не является неразрешимым. Он хорошо решается в разных видах математической логики. Он замечателен тем, что является хорошим "испытанием" и для новых видов логики, которые несомненно еще будут изобретены.

 

Автор: Мирослав Войнаровский